Начальная школа

Русский язык

Литература

История России

Всемирная история

Биология

География

Математика

Задачи на математическую логику. Система Диофанта

 

 Знаешь анекдот: Дети решите задачу «У Маши 4 груши...» «Но, Марья Ивановна мы проходили только про яблоки».

— Да, да я именно об этом. Для примера я взял квадратные уравнения, уж сколько нас ими мучили, сколько перерешали примеров, а за всю рабочую практику, ни разу не понадобилось... решил поискать в интернете, нечто подобное: «практическое применение квадратного уравнения»

 Представляю, чего ты там только не нашел. Потом проверю.

— Да, нашел много, но в одной из первых была ссылка на задачу сформулированную еще в Древней Греции.



Два числа в сумме дают 20, а их произведение равно 96. Ну, ясное дело, надо определить эти числа.



Стало интересно, неужели я, такой крутой, не решу древнюю задачу.

Приведу это, совсем простое, решение подробно, по шагам, дабы ты смог его проверить.

1. Дана система:

x + y = 20

xy = 96

(фигурную скобочку системы на тексте не изобразить, да ты меня простишь)

2. из второй строки системы находим у

y = 96 / x

3. подставляем найденный у в первую строку

x + 96/x = 20

4. умножаем все на х

x2 + 96 = 20x

5. переносим правую часть и приводим к общепринятому виду (это называется приведенное квадратное уравнение)

x2 — 20x + 96 = 0



Вот тут я притормозил. Да, видимо жучили нас мало, за полвека формулу я забыл, если бы мне ее показали я узнал бы ее слету, вот, что значит нет постоянной практики.

= Так в чем проблема, посмотри в Интернете.

— Нет, легкие пути не для нас.

Тут я посмотрел на вторую строку системы

xy = 96

из этого следует, что в 96, в качестве сомножителей содержатся оба корня!!!

т.е. если, это самое, 96 разложить на простые сомножители (а это задача 6 класса) и из их комбинации выбрать дающие в сумме 20, то вот оно - дерево и мужик в пиджаке!!!

— Делаем, давай я изложу опять до идиотизма просто:



96 — четное — делим на два в результате 48

48 — четное — делим на два в результате 24

24 — четное — делим на два в результате 12

12 — четное — делим на два в результате 6

6 — четное — делим на два в результате 3



в итоге:

96 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 3



= Спасибо за идиота, но бухти дальше.

— Предположим что первый корень = 2 тогда второй 48

= Не подходит, в сумме не 20, а 50

— Хорошо, тогда первый корень 2 • 2 = 4, а второй 2 • 2 • 2 • 3 = 24

= Опять не пойдет, в сумме 28.

— Попытка номер... первый корень 2 • 2 • 2 = 8, а второй, что осталось: 2 • 2 • 3 = 12

= Ну, надо же, угадал!

— Не угадал, а вычислил.

= Погоди, я проверю.

— Я уже все проверил. Вся сходится.

В том числе проверил и по стандартной формуле нахождения корней квадратного уравнения, забавно, что при этой проверке я ошибся, запутался в арифметике.

= Не забавно, а показательно.

— Возможно. Так я наслаждался победой целый день, а на следующий — до меня дошло!!!

= Что дошло, к чему восклицания?

— Просмотри, выше изложенное, ничего не замечаешь?

= Пока ничего.

— Хорошо, изложу доступнее:

система:

x + y = S

xy = M

тождественна:

x2 — Sx + M = 0



= Ну, и что. Согласен, я тебе верю.

— В математике, верить нельзя. Надо проверять доказательства.

= Ладно, доказал, но к чему ты ведешь?

— Посмотри же! Любое приведенное квадратное уравнение легким движением можно превратить в систему, а точнее коэффициент S является суммой корней (с минусом), и коэффициент M их произведением.

Отсюда следует, что 90% «школьных» приведенных квадратных уравнений можно легко решить в уме.

Попробуем?

= Давай.

— Напомню последовательность действий:

1. разложение коэффициента M на простые сомножители

Простых чисел до 100 не так уж много:

 

2

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

43

47

53

59

61

67

71

73

79

83

89

97

2. выбор полученных корней в сумме дающих S



= Все понятно, поехали.



— Для x2 — 7x + 10 = 0 корни будут 2 и 5.

= Да, я вижу, (x2 — [2+5]x + [2 • 5] = 0) проверим:

2 • 2 — 7 • 2 + 10 = 4 — 14 + 10 = 0

5 • 5 — 7 • 5 + 10 = 25 — 35 + 10 = 0

Все сошлось, я тоже хочу попробовать.

— Пробуй: x2 — 16x + 39 = 0

= Корни 3 и 13. Ну, надо же! Я Вижу!!! Еще хочу!

x2 — 3x + 2 = 0

корни 1 и 2.

= Попался! Это все знают! 1 не является простым числом.

— Ну и что, хоть горшком назови, ну пусть 1 будет «сверх простым числом», но корнем этого уравнения оно является.

= Тогда я предлагаю такое уравнение x2 — 4x = 0 и корни будут 0 и 4.

— Согласен. А реши такое x2 + 18x + 65 = 0

= Решение 5 и 13.

— Неверно.

= Погоди, проверю 13 • 5 = 65; 13 + 5 = 18 ты не прав. Все верно.

— А ты подставь корни в квадратное уравнение.

= Да, не получается, а в чем дело.

— Ты забыл смотреть на знаки. Ответ будет -5 и -13

= Ну, надо же. А я думал, что все проще некуда.

— Давай разберемся со знаками. Вот базовая формула: x2 — Sx + M = 0. При коэффициенте M плюс будет если оба корня положительны или оба они отрицательны. Знак при S зависит от суммы положительных или отрицательных корней взятой со знаком минус.

= Чего-то ты перемудрил.

— Ну смотри. Если при M стоит минус. Значит насторожись, один из корней отрицателен.

Если + Sx + M, то к гадалке не ходи, оба корня отрицательны. Ну лучше опробуем все это на практике.

x2 — [5+2]x + [5•2] = x2 — 7x + 10 = 0

x2 — [-2+5]x + [-2•5] = x2 — 3x — 10 = 0

x2 — [-5+2]x + [-5•2] = x2 + 3x — 10 = 0

x2 — [-5 + -2]x + [-5•-2] = x2 + 7x + 10 = 0

= В общем понятно, - потренироваться надо.

— Приступай.

x2 — 8x + 12 = 0;

x2 — 2x — 3 = 0;

x2 — 5x + 4 = 0;

x2 — 13x + 12 = 0;

x2 — 7x + 12 = 0;

x2 — 15x + 26 = 0;

x2 + 14x + 45 = 0;

x2 + 3x - 70 = 0;

x2 — 12x + 35 = 0;

— А дальше тренируйся дома «на кошках». Открой учебник и пиши ответы.

— Давай разберем еще два случая.

x2 — 10x + 100 = 0

= Чего-то не понял.

— Уравнение решения не имеет. 100 = 2•2•5•5 при любой комбинации сомножителей сумма будет больше 10.

= Занятно.

x2 — 6x + 9 = 0

— Уравнение имеет единственное решение 3.

x2 — 5x + 9 = 0

— А если так, то решений нет.

= Ну, надо же. И все исходит из волшебной системы?!!

— Как видишь, большинство «школьных» уравнений, ты решишь одной левой.

Но возможны и сложности, например, такой коварный случай:

x2 + 4x + 2 = 0

= Как было сказано «два плюса значит — два отрицательных корня», но не соображу, как может сумма быть больше произведения?

— Подумай! Достаточно абсолютному значению хотя бы одного из корней быть меньше единицы, и в данном случае корни:

—2 — √2 ≈ -3.414213562373095

и

—2 + √2 ≈ -0.5857864376269049

= Т.е. просто глянув на формулу можно многое сказать о корнях, да интересно.

= А что ты называешь «школьным» уравнением.

— В свое время, учась в школе, я заметил, что школьная математика дается в «приглаженном» виде, посмотри в геометрических задачах все углы — 30°, 45°, 60°, 90° а алгебре, как правило, в задании и в ответе целые числа. Последние называются Диофантовы уравнения.

//

Диофантово уравнение — это уравнение вида P(x1, ... , xm) = 0,

где P — целочисленная функция (например, полином с целыми коэффициентами), а переменные принимают целые значения. Названы в честь древнегреческого математика Диофанта.

//

— Кстати задача, которую мы изначально решали, также приписывается Диофанту.



= Вот приду завтра в школу и умою всех отличников.

— / вот выйду из тюрьмы. Куплю костюм с отливом.../

= Скажу Нельке «открой задачник на любой странице и выбери пример» и с ходу раз — ответ, и пока она пыхтит, проверяет, второй пример, третий.

— / Куплю костюм с отливом. И в Гагры.../

= Слушай. Чё-то мне не верится, что за две с половиной тысячи лет никто не нашел такого способа.

— И мне не верится. Но, мы не специалисты, наверное профессиональный математик скажет «на такой-то странице такой-то работы Гаусса или скажем Эйлера есть упоминание о данной теме, в качестве курьеза[3]».

— Но мне кажется, что это тайный инструмент составителей задачников для школьников. Согласись, что составить задачу с заданными свойствами ничего не стоит.

= Тогда Нельке я скажу «назови мне два числа, и я тебе напишу квадратное уравнение, где корнями буду эти два числа». Так пожалуй еще круче. .... но придется признаваться как я это делаю.

— Да не проблема, расскажи и покажи. Но, во время демонстрации помни о коварных случаях например x2 — 5x — 3 = 0.

= Ничего, выкручусь, по крайней мере поражу народ своим анализом корней, а затем скажу, что сегодня с отрицательными корнями не хочу возится.

= А, вот еще вопрос. Мы с тобой рассматривали уравнения типа x2 + bx + c = 0, а если будет полное квадратное уравнение: ax2 + bx + c = 0?

— Элементарно, Ватсон. Раздели полное уравнение на а, и получишь приведенное, а дальше ты знаешь.

= Но тогда получатся дробные коэффициенты.

— Мудрость состоит в том, что не стоит бараном упираться в любой принцип, ежели разделение дроби на сомножители составляет трудность, вспоминай о дискриминанте и прочих радостях стандартной формулы.

Но давай поиграемся с корнями 0.5 и 1.5

x2 — [0.5 + 1.5]x + [0.5 • 1.5] = x2 — 2x + 0.75 = 0

давай для удаления дроби, умножим на 100

100x2 — 200x + 75 = 0

Т.е. по крайней мере составлять уравнение по любым корням ты сможешь, и разбитое сердце для Нелли обеспеченно.

= Я тоже хочу попробовать.

— Ну, давай, давай что-нибудь не обычное, пусть будет корень из тринадцати, итак корни квадратного уравнения 1 + √13 и 1 — √13.

= Крибле крабле бумс: x2 — 2x — 12 = 0

= «Айнун цванцих фирун зихцих» или как говорили древние финики «Повторение мать мучения»

— Финикийцы?!

= Финики — веселее. Давай я повторю все что понял:

1. Посмотреть на знаки

— + оба корня положительны

— — один корень отрицателен, но положительный больше

+ — один корень положителен, но отрицательный больше

+ + оба корня отрицательны

2. Если M меньше S значит абсолютная величина хотя бы одного корня больше нуля, но меньше единицы.

3. Если M удалось разложить на множителе и их сумма (с учетом знаков) равна S — демонстрируем свои феноменальные способности.

3а. Иначе, быстренько считаем дискриминант или шустренько врем «голова заболела,... я уже устал,... на сегодня достаточно...»

4. В случаях 2 и 3а — плавно переходим к демонстрации изготовления уравнений по заданным корням, это дело беспроигрышно (главное не запутаться в арифметике).

— Отлично. Теперь ты готов к подвигам.

 Спасибо, за отличный прикол. Это будет ШОУ!!!

— Успехов в кардио-математических делах.

Поиск

Информатика

Физика

Химия

Классному руководителю

Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru